1引言

近年來，光學自由曲面在學術界被炒的火熱，很多光學系統中都報道了自由曲面的應用。然而，到底什么是自由曲面，它的優點是什么，可能很多人還不清楚。隨著自由曲面的應用逐漸普及，我們有必要對它有一個較為客觀的認識，從而在工作中做到備無患。

2光學自由曲面的定義

首先從常見的光學表面說起，常見的光學表面，包括平面、球面、旋轉對稱的非球面和柱面等，這類表面都不屬于自由曲面的范疇。按照自由曲面的定義，自由曲面是指不具有軸旋轉對稱或平移對稱約束的光學曲面，如此以來，自由曲面的一大特點就是不對稱，不以某個旋轉軸旋轉對稱，也不以某個截面對稱。

自由曲面*早應用在照明領域，隨著單點金剛石車削工藝的發展，人們可以制造出各類曲面的模具出來，有了模具，就可以通過模壓或者注塑的工藝，生產出滿足要求的光學曲面。與傳統的元件相比，自由曲面有更多的參數自由度，因此可以實現更緊湊的空間、更大的光學視場和更少的系統重量，對于光學系統的功能擴展起到了促進作用。在光學成像領域，自由曲面在天文觀測和空間光學系統中有較多的應用，在一些手機鏡頭中，也加入了自由曲面的元件，以達到矯正像差的效果。

3光學自由曲面的常見類型

用于光學成像的自由曲面，通常并不是毫無規律的曲面，而是有方程和參數去定義和描述的，在本節中，我們介紹實際中常見的光學自由曲面的類型。

A、離軸非球面

按照自由曲面的定義，從旋轉對稱的非球面上，偏軸切下來的一塊非球面，即我們通常所說的離軸非球面，就屬于自由曲面的范疇。離軸非球面的形狀可以是圓形的，也可以是方形的。

離軸非球面，是在原來非球面方程的基礎上，多了一個離軸量或離軸角的指標，它可以通過數控研磨和拋光的方式做加工。

B、復曲面（TORUS）

復曲面又稱為輪胎面，它的形狀就像是從汽車輪胎上取下的一塊區域一樣，在X和Y兩個方向上都是曲面，在兩個相互垂直的截面上，有兩個不同的曲率半徑值。在光學系統中，復曲面具有獨特的用途，如作為變形系統中的變形光學元件，或者紅外熱像儀中的掃描元件等，在極紫外光譜儀中，復曲面作為前置鏡，可以收集到更大的光通量，一個復曲面的形狀如下圖所示：

設定曲面在水平X方向的曲率半徑為Rx，二次系數為Kx，在水平Y方向的曲率半徑為Ry，二次系數為Ky，則復曲面的表達式可表示為：

C、XY 多項式自由曲面

XY多項式通常是在非球面的基礎上，增加x和y的多項式方程而得到的曲面，多項式方程的形式可以是任意的，包括線性、二次、三次以及更高階的多項式。這種曲面的方程通常多個參數來控制，通過改變參數的取值可以得到不同形狀的曲面。

D、Zernike多項式自由曲面

Zernike多項式的基函數在單位圓域內是連續正交完備的，它的各項與光學檢測中的像差形式對應，并且正交性的存在使得各種像差系數的大小與擬合使用的項數無關，以上性能使得它是自由曲面較為理想的表述方式，被廣泛地應用于成像光學設計中。 以二次曲面上疊加 Zernike多項式得到的口徑為 D的自由曲面，其矢高表達式如下：

式中，**項為二次曲面部分，k為圓錐常數，c為曲率，r為x和y的平方和之根，**項為Zernike多項式部分，Ai為Zernike多項式系數 ，Zi為Zernike多項式 ，ρ為歸一化半徑，即r/(D/2)，φ 為幅角。

E、Q 多項式自由曲面Q 多項式自由曲面是由美國 QED 公司的 Forbes提出的一種自由曲面,它是從 Forbes提出的旋轉對稱 Q 多項式曲面發展而來。它的面形系數可以直接用來表征曲面相對于*佳擬合球面的矢高偏差梯度,可以用于自由曲面的公差分析,使光學設計和加工檢測難度的評價可以同時進行,從而避免了設計后再進行加工評價的繁瑣過程。Q多項式的表達式如下：

F、非均勻有理B樣條自由曲面(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)

NURBS曲面通過控制頂點網絡、基函數以及各點的權重來描述曲面,是一種參數化的描述曲面方式。它是國際標準化組織頒布的工業產品的數據交換標準STEP中,定義工業產品幾何形狀的**數學方法。調節 NURBS的每一個控制點或者其權重只影響該點附近的面形，因而NURBS也是一種局部面型可控的自由曲面。該種曲面的表達式較復雜，如下式所示：

NURBS的性質優良,在照明領域已有成功的應用。但是其變量數太多使得其光線追跡極為復雜，追跡時間長、難以優化，目前在成像領域中的應用較少。

4結語

在本文中，我們對光學自由曲面的定義和常見的類型做了介紹，自由曲面是不具有軸旋轉對稱或平移對稱約束的光學曲面，因此無法用傳統的平、球面加工方法來加工，但由于它可以具備更多的設計自由度，因此在對光學系統的尺寸和非成像性能要求越來越高的場合得到了較多的應用。文中介紹了光學自由曲面的常見類型，包括離軸非球面、復曲面、XY多項式自由曲面、Zernike多項式自由曲面、Q多項式自由曲面和NURBS自由曲面等，以使得大家對這些自由曲面的表達式有初步的了解。